Calcule as derivadas seguintes:
dd x integral-1^x arctan (t^3) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que tem como limite superior a variável x. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1). Ele nos diz que se tivermos uma função definida por uma integral do tipo:
F(x) = integrala^x f(t) , dt
Então, a derivada dessa função em relação a x é simplesmente a função dentro da integral avaliada em x:
F'(x) = f(x)
Isso significa que para derivar uma integral onde o limite superior é x, a derivada será a função integranda avaliada em x.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema:
dd x integral-1^x arctan (t^3) d t
Aqui, a função dentro da integral é f(t) = arctan(t^3). Segundo o teorema, a derivada será simplesmente f(x):
dd x integral-1^x arctan (t^3) d t = arctan(x^3)

Resposta

arctan(x^3)

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