Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1(x^2+1)^10 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral definida integral0^1(x^2+1)^10 x , dx. Esse é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como usar a substituição para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da integral temos (x^2 + 1)^10 multiplicado por x. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que nos ajudará a substituir dx na integral. Derivando u:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos x , dx, que aparece na expressão para du. Podemos reescrever x , dx em termos de du:
x , dx = du2

Passo 5

Substituindo u e x , dx na integral original, teremos:
integral0^1 (x^2 + 1)^10 x , dx = integralu(0)^u(1) u^10 cdot du2
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos valores de u. Quando x = 0:
u = (0)^2 + 1 = 1
E quando x = 1:
u = (1)^2 + 1 = 2
Então, nossa integral fica:
12 integral1^2 u^10 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^10 em relação a u. A integral de u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral1^2 u^10 , du = [ u^1111 ]1^2 = 2^1111 - 1^1111

Passo 7

Calculando os valores:
2^11 = 2048 e 1^11 = 1
Portanto:
204811 - 111 = 204711
Multiplicando pela constante que tínhamos fora da integral:
12 cdot 204711 = 204722

Resposta

Então, o valor da integral é 204722.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas seguintes:
dd x integral-1^x arctan (t^3) d t
Encontre a derivada d/y d/x para a função derivável y = f(x) que satisfaz cada uma das seguintes equações: y^3 + x * y^2 + y = 3
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi raiz1+cos (2 x)2 d x
Sem calcular a integral definida explique por que as seguintes igualdades são falsas.
integral-1^1 11+x^2 d x=0