Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi raiz1+cos (2 x)2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 até . Isso envolve o cálculo de integrais e o uso de identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de identidades trigonométricas e de como calcular integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A expressão é cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Vamos rearranjar essa fórmula para expressar .

Passo 3

A partir da identidade 1 + cos(2x) = 2cos^2(x) , somamos 1 em ambos os lados:
1 + cos(2x)2 = cos^2(x)
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Então, a expressão dentro da raiz se simplifica para .

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, temos:
raiz1 + cos(2x)2 = raizcos^2(x)
Sabemos que integral0^pi |cos(x)| , dx , o valor absoluto de . Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de integral0^pi |cos(x)| , dx = integral0^pi2 cos(x) , dx + integralpi2^pi -cos(x) , dx no intervalo de 0 a . Sabemos que:
  • Para entre 0 e , é positivo.
  • Para entre e , é negativo.
Portanto, podemos dividir a integral em duas partes:
Isso porque é igual a na primeira metade e a na segunda metade.

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi2 cos(x) , dx = sin(x) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Segunda integral:
integralpi2^pi -cos(x) , dx = -sin(x) |pi2^pi = -(sin(pi) - sin(pi2)) = -(0 - 1) = 1

Resposta

Somando as duas partes, temos:
1 + 1 = 2
Então, o valor da integral é 2.

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Calcule as seguintes integrais definidas:
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