Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 até . Isso envolve o cálculo de integrais e o uso de identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de identidades trigonométricas e de como calcular integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A expressão é . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Vamos rearranjar essa fórmula para expressar .
Passo 3
A partir da identidade , somamos 1 em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Então, a expressão dentro da raiz se simplifica para .
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, temos:
Sabemos que , o valor absoluto de . Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de no intervalo de 0 a . Sabemos que:
Para entre 0 e , é positivo.
Para entre e , é negativo.
Portanto, podemos dividir a integral em duas partes:
Isso porque é igual a na primeira metade e a na segunda metade.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.