Encontre a derivada d/y d/x para a função derivável y = f(x) que satisfaz cada uma das seguintes equações: y^3 + x * y^2 + y = 3

Passo 1

Então, a gente tem a função que satisfaz a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é quando a função y está misturada com x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que quando a gente tem uma função composta, como ou , precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos aplicar a diferenciação:
  • A derivada de em relação a x é (usamos a regra da cadeia).
  • A derivada de x y^2 é (usamos a regra do produto: derivada de x é 1 vezes y^2 mais x vezes a derivada de y^2, que é ).
  • A derivada de y é .
  • A derivada de 3, que é uma constante, é 0.
Então, depois da diferenciação, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos juntar todos os termos que têm :
Isolando :
Então, dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada é dada por:

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