Calcule as derivadas seguintes:
dd x integral0^sen(x) raize^t+t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada em relação a dd x integral0^sin(x) raize^t + t , dt da seguinte integral:
Aqui, estamos lidando com um problema de cálculo que envolve derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limite superior variável, a derivada dessa função em relação a F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior em relação a .
Matematicamente, se , então:
No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando o teorema, substituímos f(g(x)) = raize^sin(x) + sin(x) na função :
Agora, precisamos calcular a derivada de , que é .

Passo 4

A derivada de g'(x) = cos(x) em relação a é:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos dd x integral0^sin(x) raize^t + t , dt = raize^sin(x) + sin(x) cdot cos(x) pela derivada :

Resposta

A derivada é:
raize^sin(x) + sin(x) cdot cos(x)

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