Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
Vamos usar conceitos de cálculo integral e funções trigonométricas para resolver essa integral. Para isso, será necessário fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 2
Observamos que o denominador é uma expressão em termos de . Isso sugere que uma substituição envolvendo pode simplificar a integral. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos permite substituir por na integral.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, a nova integral é:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador :
Passo 6
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
Para :
Para :
Portanto, a decomposição fica:
Passo 7
Substituindo as frações parciais na integral, temos:
Podemos separar a integral em duas partes:
As integrais são:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: