Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi2 cos (x)6-5 sen(x)+sen^2(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
integral0^pi2 cos(x)6 - 5 sin(x) + sin^2(x) , dx
Vamos usar conceitos de cálculo integral e funções trigonométricas para resolver essa integral. Para isso, será necessário fazer uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Observamos que o denominador u = sin(x) é uma expressão em termos de . Isso sugere que uma substituição envolvendo pode simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) , dx em relação a :
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi2 cos(x)6 - 5 sin(x) + sin^2(x) , dx = integralu(0)^u(pi2) 16 - 5u + u^2 , du
Sabemos que u(0) = sin(0) = 0 e u(pi2) = sin(pi2) = 1 , então:
integral0^1 1u^2 - 5u + 6 , du
Portanto, a nova integral é:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador u^2 - 5u + 6 = (u - 2)(u - 3) :

Passo 6

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(u - 2)(u - 3) = Au - 2 + Bu - 3 e 1 = A(u - 3) + B(u - 2) tais que:
1 = A(3 - 3) + B(3 - 2) Rightarrow 1 = B(1) Rightarrow B = 1
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(2 - 3) + B(2 - 2) Rightarrow 1 = -A(1) Rightarrow A = -1 , temos:
1(u - 2)(u - 3) = -1u - 2 + 1u - 3
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :
Portanto, a decomposição fica:

Passo 7

Substituindo as frações parciais na integral, temos:
integral0^1 ( -1u - 2 + 1u - 3 ) du
Podemos separar a integral em duas partes:
- integral0^1 1u - 2 , du + integral0^1 1u - 3 , du
As integrais são:
- ln|u - 2| + ln|u - 3| |0^1

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ - ln|1 - 2| + ln|1 - 3| ] - [ - ln|0 - 2| + ln|0 - 3| ]
Simplificando os valores absolutos:
- ln(1) + ln(2) - (- ln(2) + ln(3))
Como ln(2) + ln(2) - ln(3) = ln(43) , a expressão fica:

Resposta

O valor da integral é:
ln( 43 )

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