Encontre integral0^2 f(x) d x e integral-3^2 g(x) d x se
f(x)= x^2 & x <= 1 raizx & x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos duas integrais:
  1. integral0^2 f(x) , dx
  2. integral-3^2 g(x) , dx
Mas, só temos a definição de f(x):
f(x)= x^2 & se x <= 1 raizx & se x > 1
Parece que falta a definição de g(x), mas vamos focar na primeira integral com f(x). Para resolver essa integral, vamos precisar entender como a função f(x) se comporta no intervalo de integração e aplicar as regras de integração apropriadas para cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral integral0^2 f(x) , dx. Observamos que a função f(x) muda de expressão no ponto x = 1. Portanto, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De 0 a 1, onde f(x) = x^2.
  2. De 1 a 2, onde f(x) = raizx.
Isso facilita a resolução, já que cada parte da função tem uma expressão diferente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral:
integral0^1 x^2 , dx
Para integrar x^2, usamos a regra de potência da integração, que diz:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Agora, avaliamos de 0 a 1:
x^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
integral1^2 raizx , dx
Lembrando que raizx = x^1/2, aplicamos a regra de potência novamente:
integral x^1/2 , dx = x^3/232 + C = 23 x^3/2 + C
Avaliando de 1 a 2:
23 x^3/2 |1^2 = 23 (2)^3/2 - 23 (1)^3/2
Calculando cada termo:
  • (2)^3/2 = raiz2^3 = raiz8 = 2raiz2
  • (1)^3/2 = 1
Então:
23 times 2raiz2 - 23 times 1 = 4raiz23 - 23 = 4raiz2 - 23

Resposta

Somando as duas partes da integral:
integral0^2 f(x) , dx = 13 + 4raiz2 - 23 = 1 + 4raiz2 - 23 = 4raiz2 - 13
Portanto, o valor final da integral é:
integral0^2 f(x) , dx = 4raiz2 - 13

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