Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos duas integrais:
Mas, só temos a definição de :
Parece que falta a definição de , mas vamos focar na primeira integral com . Para resolver essa integral, vamos precisar entender como a função se comporta no intervalo de integração e aplicar as regras de integração apropriadas para cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral . Observamos que a função muda de expressão no ponto . Portanto, vamos dividir a integral em duas partes:
De a , onde .
De a , onde .
Isso facilita a resolução, já que cada parte da função tem uma expressão diferente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte da integral:
Para integrar , usamos a regra de potência da integração, que diz:
Aplicando isso:
Agora, avaliamos de a :
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
integral1^2 raizx , dx
Lembrando que raizx = x^1/2, aplicamos a regra de potência novamente:
integral x^1/2 , dx = x^3/232 + C = 23 x^3/2 + C
Avaliando de 1 a 2:
23 x^3/2 |1^2 = 23 (2)^3/2 - 23 (1)^3/2
Calculando cada termo:
(2)^3/2 = raiz2^3 = raiz8 = 2raiz2
(1)^3/2 = 1
Então:
23 times 2raiz2 - 23 times 1 = 4raiz23 - 23 = 4raiz2 - 23