Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-2^1|x|+|x+1| d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Estamos trabalhando com integrais definidas e funções de valor absoluto. Para resolver essa integral, precisamos identificar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso nos ajudará a dividir o intervalo de integração em partes menores onde podemos simplificar as funções sem os valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as expressões e mudam de sinal. A expressão muda de sinal em e muda de sinal em . Portanto, precisamos dividir o intervalo de integração nos seguintes subintervalos:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada subintervalo separadamente para simplificar as expressões com valor absoluto.
  1. Intervalo :
    • é negativo, então .
    • é negativo, então .
    Portanto, .
  2. Intervalo :
    • é negativo, então .
    • é positivo, então .
    Portanto, .
  3. Intervalo :
    • é positivo, então .
    • é positivo, então .
    Portanto, .

Passo 4

Com as expressões simplificadas em cada subintervalo, podemos reescrever a integral como a soma das integrais em cada parte:
integral-2^1|x| + |x+1| , dx = integral-2^-1(-2x -1) , dx + integral-1^01 , dx + integral0^1(2x +1) , dx
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Calculando cada integral:
  1. Integral de integral-2^-1 (-2x -1) , dx = [ -x^2 - x ]-2^-1 = ( -(-1)^2 - (-1) ) - ( -(-2)^2 - (-2) ) = (-1 +1) - (-4 +2) = 0 - (-2) = 2 :
    integral-1^0 1 , dx = [ x ]-1^0 = 0 - (-1) = 1
  2. Integral de integral0^1 (2x +1) , dx = [ x^2 + x ]0^1 = (1 +1) - (0 +0) = 2 :
  3. Integral de :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das três integrais:
2 + 1 + 2 = 5

Resposta

O valor da integral é .

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