Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Estamos trabalhando com integrais definidas e funções de valor absoluto. Para resolver essa integral, precisamos identificar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso nos ajudará a dividir o intervalo de integração em partes menores onde podemos simplificar as funções sem os valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as expressões
e
mudam de sinal. A expressão
muda de sinal em
e
muda de sinal em
. Portanto, precisamos dividir o intervalo de integração
nos seguintes subintervalos:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada subintervalo separadamente para simplificar as expressões com valor absoluto.
-
Intervalo
: -
é negativo, então . -
é negativo, então .
Portanto,. -
-
Intervalo
: -
é negativo, então . -
é positivo, então .
Portanto,. -
-
Intervalo
: -
é positivo, então . -
é positivo, então .
Portanto,. -
Passo 4
Com as expressões simplificadas em cada subintervalo, podemos reescrever a integral como a soma das integrais em cada parte:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Calculando cada integral:
-
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das três integrais:
Resposta
O valor da integral
é
.