Calcule as derivadas seguintes:
dd x integralx^2^x^3 12+cos (t) d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada em relação a de uma integral definida que vai de até com a função integranda . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para a diferenciação de integrais com limites variáveis. Vamos precisar lembrar dessa regra para resolver o exercício.

Passo 2

A Regra de Leibniz nos diz que, se temos uma integral da forma ddx integrala(x)^b(x) f(t) , dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , sua derivada em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a função avaliando nos limites superior e inferior, multiplicando pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral:
  • (limite inferior)
  • (limite superior)
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz:
ddx integralx^2^x^3 12+cos(t) , dt = 12+cos(x^3) cdot 3x^2 - 12+cos(x^2) cdot 2x
Aqui, substituímos por e por na função , e multiplicamos pelas derivadas correspondentes.

Resposta

A derivada é:
3x^22+cos(x^3) - 2x2+cos(x^2)

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