Calcule as derivadas seguintes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada em relação a
de uma integral definida que vai de
até
com a função integranda
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para a diferenciação de integrais com limites variáveis. Vamos precisar lembrar dessa regra para resolver o exercício.
Passo 2
A Regra de Leibniz nos diz que, se temos uma integral da forma
, sua derivada em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a função
avaliando nos limites superior e inferior, multiplicando pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa integral:
-
-
(limite inferior) -
(limite superior)
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a Regra de Leibniz:
Aqui, substituímos
por
e
por
na função
, e multiplicamos pelas derivadas correspondentes.
Resposta
A derivada é:
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Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Encontre
e
se
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a: