Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada de
usando a regra da cadeia. Basicamente, vamos precisar saber como derivar funções compostas, como seno, cosseno e raízes quadradas. Então, bora desmontar essa função passo a passo para achar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes compostas:
Aqui, podemos ver que temos uma função composta dentro de outra. Vamos identificar as camadas:
- Camada mais interna:
- Próxima camada:
- Seguinte:
- Mais externa:
- Final:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então, multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Passo 4
Continuando, derivamos
em relação a
:
E agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Por fim, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
- Os
e se cancelam. - Lembrando que
, , e .
Então:
Substituindo de volta as definições:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule as derivadas seguintes:
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Calcule as seguintes integrais definidas: