Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = sen^2(cos(raiz(sen(pi x))))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada de usando a regra da cadeia. Basicamente, vamos precisar saber como derivar funções compostas, como seno, cosseno e raízes quadradas. Então, bora desmontar essa função passo a passo para achar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes compostas:
Aqui, podemos ver que temos uma função composta dentro de outra. Vamos identificar as camadas:
  1. Camada mais interna:
  2. Próxima camada:
  3. Seguinte:
  4. Mais externa:
  5. Final:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Primeiro, derivamos em relação a :
Então, multiplicamos pela derivada de em relação a :

Passo 4

Continuando, derivamos em relação a :
E agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
  • Os e se cancelam.
  • Lembrando que , , e .
Então:
Substituindo de volta as definições:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas seguintes:
dd x integralx^2^x^3 12+cos (t) d t
Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = (arcsen(2 x))^2
Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = (8*x^2 - 5)^-3
Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi2 sen^5(x) cos (x) d x