Considere a função f(x) = a x^2 + b x.
(b) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1,5 tem equação y = 8x - 3, determine a e b.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e sabemos que a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto 1,5 é . Nosso objetivo é descobrir os valores de a e b. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e de equações de reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que o ponto 1,5 está na função f(x). Isso significa que quando x = 1, . Vamos substituir esses valores na função:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 3

Agora, precisamos usar a informação sobre a reta tangente. A derivada de f(x) nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x. Vamos calcular a derivada de f(x):
No ponto x = 1, a inclinação da reta tangente é 8 (já que a equação da reta é ). Então:
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar b:
Agora que sabemos que , substituímos esse valor na equação (1) para encontrar b:

Resposta

Os valores são e .

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Calcule as derivadas das seguintes funções.
(b) f(x) = cos(2x + 1)
Calcule as derivadas das seguintes funções.
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Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(a) f(x) = x^2, x = 2
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