Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(a) f(x) = x^2, x = 2

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde x = 2. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas e precisamos usar cálculo, especificamente a derivada, para encontrar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva onde x = 2. Substituímos x na função f(x) = x^2:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de f(x), que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto x.
A derivada de f(x) = x^2 é:

Passo 4

Substituímos x = 2 na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e um ponto por onde ela passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde:
  • m é a inclinação,
  • é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida, :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde x = 2 é:

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