Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(a) f(x) = x^2, x = 2

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde x = 2. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas e precisamos usar cálculo, especificamente a derivada, para encontrar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva onde x = 2. Substituímos x na função f(x) = x^2:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de f(x), que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto x.
A derivada de f(x) = x^2 é:

Passo 4

Substituímos x = 2 na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e um ponto por onde ela passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde:
  • m é a inclinação,
  • é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida, :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde x = 2 é:

Exercícios relacionados

Considere a função f(x) = a x^2 + b x.
(b) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1,5 tem equação y = 8x - 3, determine a e b.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(b) f(x) = cos(2x + 1)
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(a) y = 3*x^2 - 2*x + 5
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) f(x) = 1/(x^2 + 1)