Calcule as derivadas das seguintes funções:
d) k(x) = raiz(x) / (cos(x) * arctg(x))

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a derivada da função . Vamos resolver isso usando o conteúdo de derivadas, mais especificamente regra do quociente e regra da cadeia. Para isso, precisamos entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função que é o quociente de duas funções:
  • Numerador: que é igual a
  • Denominador:
Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:

Passo 3

Vamos calcular agora as derivadas de e :
  1. Derivada do Numerador
Usamos a regra do poder, que diz que :
  1. Derivada do Denominador
Aqui usamos a regra do produto, que diz que se , então:
Vamos derivar cada parte:
Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando pelos termos dentro do parênteses:
Simplificando:
  1. Juntando tudo no numerador:
Distribuindo o sinal negativo:

Passo 6

Agora, colocando tudo de volta na expressão da derivada:
Podemos manter a expressão assim ou simplificar ainda mais, dependendo da necessidade. Para manter a clareza, vamos deixar a derivada assim.

Resposta

A derivada da função é:

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