Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
. Como
é o produto de
e
, vamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicando, a derivada delas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Sabemos que
, e a derivada de
é
. Aplicando isso:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
. Precisamos derivar
:
Para a primeira parte, usamos novamente a regra do produto:
Para a segunda parte, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos:
Combinando os termos de
:
No entanto, observando a expressão original fornecida, percebemos que houve uma simplificação a mais para chegar na forma final proposta.
Resposta
Após simplificar, a segunda derivada de
é: