Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
b) g''(x) = f''(x) * raiz(x) + f'(x) / raiz(x) + f(x) / (x * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. Nosso objetivo é descobrir como fica a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, principalmente a regra do produto, já que é um produto de duas funções: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função que é um produto de duas funções e é dada por:
No nosso caso, e . Vamos encontrar a primeira derivada .

Passo 3

Calculando a primeira derivada :
Sabemos que a derivada de é , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, derivamos novamente:
Aplicando a regra do produto na primeira parte e a regra da divisão na segunda:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, juntando todas as partes:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, a segunda derivada de é:

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