Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. Nosso objetivo é descobrir como fica a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, principalmente a regra do produto, já que
é um produto de duas funções:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função que é um produto de duas funções
e
é dada por:
No nosso caso,
e
. Vamos encontrar a primeira derivada
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
Sabemos que a derivada de
é
, então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Para isso, derivamos
novamente:
Aplicando a regra do produto na primeira parte e a regra da divisão na segunda:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, juntando todas as partes:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a segunda derivada de
é: