Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de le)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta próximo de zero e utilizar algumas aproximações básicas de funções trigonométricas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Temos
no numerador e
no denominador. Sabemos que, para valores muito pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Isso é conhecido como a aproximação de primeiros termos da série de Taylor para o seno.
Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar essa aproximação tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 3
Aplicando a aproximação ao numerador:
E no denominador:
Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de zero. Com as aproximações que fizemos, vimos que a expressão se simplifica para
. Isso significa que, à medida que
fica cada vez menor, o valor da nossa fração se aproxima de
.
Resposta
Portanto, o limite é: