Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de le) lim y 0 sen(y^2)y sen(2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite:
lim y 0 sin(y^2)y cdot sin(2 y)
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta próximo de zero e utilizar algumas aproximações básicas de funções trigonométricas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Temos sin(x) approx x quando x 0 no numerador e no denominador. Sabemos que, para valores muito pequenos de , é aproximadamente igual a . Isso é conhecido como a aproximação de primeiros termos da série de Taylor para o seno.
Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar essa aproximação tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Aplicando a aproximação ao numerador:
sin(y^2) approx y^2 quando y 0
E no denominador:
sin(2y) approx 2y quando y 0
Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
sin(y^2)y cdot sin(2y) approx y^2y cdot 2y = y^22y^2 = 12

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de zero. Com as aproximações que fizemos, vimos que a expressão se simplifica para . Isso significa que, à medida que fica cada vez menor, o valor da nossa fração se aproxima de .

Resposta

Portanto, o limite é:
lim y 0 sin(y^2)y cdot sin(2 y) = 12

Exercícios relacionados