Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
d) g''(x) = f''(x) * raiz(x) + f'(x) / raiz(x) - f(x) / (4 * x * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função , onde é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de . Como é o produto de duas funções, e , usamos a regra do produto:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, , que é a derivada de . Vamos derivar cada termo separadamente:
Para o primeiro termo, usamos novamente a regra do produto:
Para o segundo termo, também aplicamos a regra do produto:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo:
Simplificando os termos com :
Somando os termos semelhantes:

Resposta

Então, a segunda derivada de é:

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