Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) f(x) = 1/(x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a derivada da função . Isso está dentro de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é super útil quando a gente tem uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a função mais fácil de trabalhar reescrevendo como . Assim, fica mais tranquilo para aplicar as regras de derivação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. No nosso caso, temos , onde é a função interna e (com ) é a função externa.

Passo 4

Segundo a regra da cadeia, a derivada de em relação a é multiplicado pela derivada de em relação a . Então, vamos derivar a parte externa primeiro.

Passo 5

A função interna é . Vamos derivar isso em relação a . A derivada de é e a derivada de é . Então, .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a derivada de fica:

Resposta

A derivada da função é .

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