Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(b) f(x) = raiz(2), x = 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa (valor de ) é 9. A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma reta tangente e como calculá-la para uma função qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função constante, ou seja, para qualquer valor de , sempre será . Graficamente, isso forma uma linha horizontal no plano cartesiano, passando pelo ponto para todo .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente em um ponto específico da curva, precisamos saber que a reta tangente é aquela que toca a curva em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação (ou derivada) da curva nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma constante é zero, porque a inclinação de uma linha horizontal é zero. Então,

Passo 5

Sabemos que a inclinação da reta tangente é igual à derivada da função no ponto de tangência. Como , a reta tangente terá inclinação zero, ou seja, também será uma linha horizontal.

Passo 6

Agora, precisamos determinar o ponto de tangência. Sabemos que a abscissa é 9, então . Substituindo na função:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 7

Com a inclinação zero e o ponto de tangência , podemos escrever a equação da reta tangente. Para uma reta horizontal, a equação é simplesmente:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa é:

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Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(a) A função f é contínua em x = 3 ?
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) f(x) = 1/(x^2 + 1)
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(b) y = 1/x
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
© y = (x - 1) / (x + 3)