Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(a) A função f é contínua em x = 3 ?

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos uma função definida por partes e queremos saber se ela é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função nesse ponto, além de verificar o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos calcular . Como está na parte da função onde , usamos essa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Nessa região, , então usamos a mesma expressão:

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Aqui, , então usamos a outra expressão da função:

Passo 6

Agora, comparamos os limites laterais e o valor da função:
Como todos são iguais, as três condições de continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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Calcule as derivadas das seguintes funções.
(a) f(x) = 1/(x^2 + 1)
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(a) y = 3*x^2 - 2*x + 5
Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(b) f(x) = raiz(2), x = 9
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(b) y = 1/x