Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(a) A função f é contínua em x = 3 ?

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos uma função definida por partes e queremos saber se ela é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função nesse ponto, além de verificar o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos calcular . Como está na parte da função onde , usamos essa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Nessa região, , então usamos a mesma expressão:

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Aqui, , então usamos a outra expressão da função:

Passo 6

Agora, comparamos os limites laterais e o valor da função:
Como todos são iguais, as três condições de continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

Exercícios relacionados