Calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas e produtos. Para resolver, vamos usar a regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função . Ela é o produto de três funções:
Para derivar , vamos usar a regra do produto para três funções, que diz:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas individuais:
  1. Derivada de :
    A derivada de uma função exponencial é . Então,
  2. Derivada de :
    A derivada da função seno é o cosseno. Portanto,
  3. Derivada de :
    A derivada do logaritmo natural é . Assim,

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra do produto:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar para deixar a expressão mais organizada:

Resposta

A derivada da função é:

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Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(a ) ,
Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(b) ,
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Sejam as funções , v e w, deriváveis. Mostre que: .