Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas e produtos. Para resolver, vamos usar a regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função
. Ela é o produto de três funções:
Para derivar
, vamos usar a regra do produto para três funções, que diz:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas individuais:
-
Derivada de
: A derivada de uma função exponencialé . Então, -
Derivada de :A derivada da função seno é o cosseno. Portanto,
-
Derivada de
: A derivada do logaritmo natural é. Assim,
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra do produto:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais organizada:
Resposta
A derivada da função é:
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Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(a ) ,
(a )
Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(b) ,
(b)
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Sejam as funções
, v e w, deriváveis. Mostre que:
.