Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia e propriedades das derivadas. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é uma técnica essencial para derivar funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz quinta pode ser expressa como uma potência com expoente fracionário. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Ela nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Aqui, nossa função externa é e a função interna é .

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas das seguintes funções:
Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(a ) ,
Sejam as funções , v e w, deriváveis. Mostre que: .
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções: