Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = cos(3x) / (1 + tg(3x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de técnicas de derivação. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, a Regra da Cadeia e saber derivar funções trigonométricas como cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se você tem uma função na forma , a derivada dela é:
Aqui, e . Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, porque temos uma função composta (coseno de ).
A derivada de é . Então:
Agora, vamos derivar . A derivada de é . Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Vamos expandir o numerador:
Simplificando termos:
Sabemos que e , então substituindo:
Simplificando mais:
Podemos fatorar e colocar tudo sobre o mesmo denominador:

Resposta

Então, a derivada da função é:

Exercícios relacionados

Resolva a seguinte EDO com termo forçante descontínuo
y'' + 4y = f(x), y(0) = 0, y'(0) = 0
onde f(x) é dada no exercício anterior. Dê uma ideia de como isso poderia ser feito sem o uso da transformada.
Calcule as derivadas
f(s) = log_3(s + 1)
Seja f(t) uma função de ordem exponencial em [0,+infty) e a in R, com a >= 0. Mostre que
mathscrLintegrala^t f(x) d x(s)=1s mathscrLf(t)(s)-1s integral0^a f(x) d x
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.
Calcule as derivadas
f(x) = 5^(3 x)