Seja f(t) uma função de ordem exponencial em [0,+infty) e a in R, com a >= 0. Mostre que
mathscrLintegrala^t f(x) d x(s)=1s mathscrLf(t)(s)-1s integral0^a f(x) d x
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função mathscrLintegrala^t f(x) dx(s) = 1s mathscrLf(t)(s) - 1s integral0^a f(x) dx que é de ordem exponencial no intervalo e um número real que é maior ou igual a zero. Queremos mostrar que a transformada de Laplace da integral de de até é igual a:
Para resolver isso, vamos usar a regra da derivada para uma função conveniente e aplicar propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de F(t) = integrala^t f(x) dx :
Queremos encontrar a transformada de Laplace de , ou seja, .

Passo 3

Lembrando que a transformada de Laplace de uma função é definida por:
mathscrLF(t)(s) = integral0^+infty e^-st F(t) dt
Mas isso pode ser complicado para calcular diretamente. Vamos usar uma propriedade útil envolvendo derivadas.

Passo 4

Sabemos que se F'(t) = ddt integrala^t f(x) dx = f(t) , então a derivada de em relação a é:
Isso é pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada de .

Passo 5

A transformada de Laplace da derivada de mathscrLF'(t)(s) = s mathscrLF(t)(s) - F(0) é:
mathscrLf(t)(s) = s mathscrLF(t)(s) - F(0)
Como , temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar F(0) = integrala^0 f(x) dx . Usando a definição de F(0) = -integral0^a f(x) dx :
Como e a integral de um número maior até zero pode ser escrita como negativo:

Passo 7

Substituindo mathscrLf(t)(s) = s mathscrLF(t)(s) + integral0^a f(x) dx na equação anterior:
s mathscrLF(t)(s) = mathscrLf(t)(s) - integral0^a f(x) dx
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Finalmente, isolamos mathscrLF(t)(s) = 1s mathscrLf(t)(s) - 1s integral0^a f(x) dx :

Resposta

Portanto, mostramos que:
mathscrLintegrala^t f(x) dx(s) = 1s mathscrLf(t)(s) - 1s integral0^a f(x) dx

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Calcule as derivadas das seguintes funções.
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Resolva a seguinte EDO com termo forçante descontínuo
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Mostre que
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