Seja
uma função de ordem exponencial em
e
, com
. Mostre que
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é de ordem exponencial no intervalo
e um número real
que é maior ou igual a zero. Queremos mostrar que a transformada de Laplace da integral de
de
até
é igual a:
Para resolver isso, vamos usar a regra da derivada para uma função conveniente e aplicar propriedades da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de
:
Queremos encontrar a transformada de Laplace de
, ou seja,
.
Passo 3
Lembrando que a transformada de Laplace de uma função é definida por:
Mas isso pode ser complicado para calcular diretamente. Vamos usar uma propriedade útil envolvendo derivadas.
Passo 4
Sabemos que se
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso é pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada de
.
Passo 5
A transformada de Laplace da derivada de
é:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Usando a definição de
:
Como
e a integral de um número maior até zero pode ser escrita como negativo:
Passo 7
Substituindo
na equação anterior:
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Resolva a seguinte EDO com termo forçante descontínuo
onde
é dada no exercício anterior. Dê uma ideia de como isso poderia ser feito sem o uso da transformada.
Calcule as derivadas
Mostre que