Resolva a seguinte EDO com termo forçante descontínuo
onde
é dada no exercício anterior. Dê uma ideia de como isso poderia ser feito sem o uso da transformada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com um termo forçante que é descontínuo. A equação que temos é:
Aqui,
é uma função que tem descontinuidades, ou seja, ela “salta” de valor em certos pontos. Para resolver isso sem usar transformadas, vamos precisar entender como lidar com essas descontinuidades e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o termo forçante
é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é:
Resolvendo para
, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como
é descontínuo, vamos considerar que a solução particular também pode ser uma função descontínua que se ajusta aos diferentes intervalos de
.
Por exemplo, se
for uma função por partes, podemos encontrar
em cada intervalo separadamente e garantir que a solução seja contínua nas fronteiras, mesmo que suas derivadas não sejam.
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
. Substituindo
na solução geral:
E para a derivada:
Substituindo
:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos expressar as constantes em função das soluções particulares nos pontos iniciais. Isso nos permite determinar
e
uma vez que conhecemos
e
.
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral para obter a solução final da equação diferencial. A solução completa será uma combinação da parte homogênea e da parte particular ajustada às condições iniciais e às descontinuidades de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
é a solução particular que considera as descontinuidades de
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Justifique.
g) ( ) Se , então
g) ( ) Se
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Seja
uma função de ordem exponencial em
e
, com
. Mostre que
Sugestão: Use a regra da derivada para uma função conveniente.