Resolva a seguinte EDO com termo forçante descontínuo
y'' + 4y = f(x), y(0) = 0, y'(0) = 0
onde f(x) é dada no exercício anterior. Dê uma ideia de como isso poderia ser feito sem o uso da transformada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com um termo forçante que é descontínuo. A equação que temos é:
Aqui, f(x) é uma função que tem descontinuidades, ou seja, ela “salta” de valor em certos pontos. Para resolver isso sem usar transformadas, vamos precisar entender como lidar com essas descontinuidades e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o termo forçante f(x) é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

A equação característica para é:
Resolvendo para r, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como f(x) é descontínuo, vamos considerar que a solução particular também pode ser uma função descontínua que se ajusta aos diferentes intervalos de f(x).
Por exemplo, se f(x) for uma função por partes, podemos encontrar em cada intervalo separadamente e garantir que a solução seja contínua nas fronteiras, mesmo que suas derivadas não sejam.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Substituindo x = 0 na solução geral:
E para a derivada:
Substituindo x = 0:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Podemos expressar as constantes em função das soluções particulares nos pontos iniciais. Isso nos permite determinar e uma vez que conhecemos e .

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores de e na solução geral para obter a solução final da equação diferencial. A solução completa será uma combinação da parte homogênea e da parte particular ajustada às condições iniciais e às descontinuidades de f(x).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, e é a solução particular que considera as descontinuidades de f(x).

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