Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como encontrar derivadas de funções mais complicadas usando regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular raízes e potências, além de aplicar a Regra da Cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A raiz quarta pode ser expressa como uma potência com expoente . Então, temos:

Passo 3

Agora, para derivar essa função, usamos a Regra da Potência, que nos diz que se temos uma função da forma , sua derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a Regra da Potência:

Passo 5

Vamos simplificar o expoente:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, precisamos derivar . Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a Regra do Poder novamente).
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 8

Podemos deixar a resposta assim ou reescrever de forma mais elegante. Se preferir, o termo com expoente negativo pode ser colocado no denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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