Determine a derivada de ordem 36 da função observando o padrão obtido nas primeiras derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada 36ª da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e observar o padrão que aparece nas primeiras derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada:

Passo 4

Vamos calcular a terceira derivada:

Passo 5

E a quarta derivada:

Passo 6

Observando as derivadas calculadas, vemos que elas seguem um padrão. A cada derivada, o coeficiente das funções trigonométricas aumenta em 1, e as funções se alternam entre seno e cosseno, com um termo envolvendo que também segue esse padrão.

Passo 7

Com base nesse padrão, podemos generalizar a -ésima derivada de como:
í

Passo 8

Como queremos a derivada 36ª, que é par, aplicamos a segunda parte da regra:

Resposta

A derivada de ordem 36 da função é:

Exercícios relacionados

Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto dado.
, em
Para quaus valores de existe reta tangente horizontal ao gráfico de ? Caso não exista, justifique.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Calcule as derivadas das seguintes funções.