Determine a derivada de ordem 36 da função
observando o padrão obtido nas primeiras derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada 36ª da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e observar o padrão que aparece nas primeiras derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada:
Passo 4
Vamos calcular a terceira derivada:
Passo 5
E a quarta derivada:
Passo 6
Observando as derivadas calculadas, vemos que elas seguem um padrão. A cada derivada, o coeficiente das funções trigonométricas aumenta em 1, e as funções se alternam entre seno e cosseno, com um termo envolvendo
que também segue esse padrão.
Passo 7
Com base nesse padrão, podemos generalizar a
-ésima derivada de
como:
Passo 8
Como queremos a derivada 36ª, que é par, aplicamos a segunda parte da regra:
Resposta
A derivada de ordem 36 da função
é:
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Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto
dado.
, em
Para quaus valores de
existe reta tangente horizontal ao gráfico de
? Caso não exista, justifique.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
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