Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência com expoente
. Assim, temos:
Essa forma é útil porque facilita a aplicação da regra da cadeia na próxima etapa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função (função composta). Ela diz que a derivada de uma função composta
é:
No nosso caso,
e
.
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, derivamos
:
Passo 4
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia combinando as derivadas que encontramos:
Agora, simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada da função é: