Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = raiz(sen(2 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência com expoente . Assim, temos:
Essa forma é útil porque facilita a aplicação da regra da cadeia na próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função (função composta). Ela diz que a derivada de uma função composta é:
No nosso caso, e .
Primeiro, vamos derivar :
Agora, derivamos :

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia combinando as derivadas que encontramos:
Agora, simplificamos a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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