(1.3 pontos)(b) Use o resultado do item (a) para encontrar a série de Maclaurin da função
(escreva seu termo geral).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, que é uma série de Taylor expandida em torno de
. Para resolver isso, precisamos saber como expandir a função seno em série de Maclaurin e depois adaptar para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para é:
Essa fórmula nos permite escrever o seno como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, na nossa função , temos . Vamos substituir
por
na série de Maclaurin do seno:
Passo 4
Vamos simplificar o termo
:
Então, a série fica:
Passo 5
Agora, voltamos à função original . Vamos multiplicar a série que encontramos por
:
Passo 6
Multiplicando
pelos termos da série:
Resposta
A série de Maclaurin para a função é: