(1.3 pontos)(b) Use o resultado do item (a) para encontrar a série de Maclaurin da função f(x) = x * sen(x^3) (escreva seu termo geral).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, que é uma série de Taylor expandida em torno de . Para resolver isso, precisamos saber como expandir a função seno em série de Maclaurin e depois adaptar para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para é:
Essa fórmula nos permite escrever o seno como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, na nossa função , temos . Vamos substituir por na série de Maclaurin do seno:

Passo 4

Vamos simplificar o termo :
Então, a série fica:

Passo 5

Agora, voltamos à função original . Vamos multiplicar a série que encontramos por :

Passo 6

Multiplicando pelos termos da série:

Resposta

A série de Maclaurin para a função é:

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