(2 PONTOS) Dado a circunferência de equação x^2 + y^2 = 9, encontre, utilizando os conceitos de derivada,
a) A menor distância entre o ponto 4,5 e um ponto na circunferência.
b) A maior distancia entre o ponto 4,5 e um ponto na circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência definida pela equação , que é basicamente um círculo com raio 3 centrado na origem (0,0). O exercício pede para encontrar, usando derivadas, a menor e a maior distância entre o ponto e qualquer ponto nessa circunferência. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto na circunferência e o ponto é dada por:
Mas para facilitar o cálculo com derivadas, vamos trabalhar com a distância ao quadrado:

Passo 3

Agora, como a circunferência é , podemos expressar em função de :
Vamos substituir isso na equação da distância :
Expandindo e simplificando a expressão:
Para encontrar os valores mínimos e máximos de , vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a derivada a zero.

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Simplificando:
Resolvendo essa equação para , encontramos os valores que nos darão as distâncias mínima e máxima.

Passo 5

Após resolver a equação acima (o que envolve passos de álgebra um pouco extensos), encontramos que os pontos na circunferência que minimizam e maximizam a distância para estão na mesma linha que conecta o ponto ao centro da circunferência .
A distância entre e o centro é:
Então:
  • Menor distância:
  • Maior distância:

Resposta

a) A menor distância é aproximadamente 3,403 unidades.
b) A maior distância é aproximadamente 9,403 unidades.

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