(2 PONTOS) Dado a circunferência de equação
, encontre, utilizando os conceitos de derivada,
a) A menor distância entre o ponto
e um ponto na circunferência.
b) A maior distancia entre o ponto
e um ponto na circunferência.
a) A menor distância entre o ponto
b) A maior distancia entre o ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência definida pela equação
, que é basicamente um círculo com raio 3 centrado na origem (0,0). O exercício pede para encontrar, usando derivadas, a menor e a maior distância entre o ponto
e qualquer ponto nessa circunferência. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto
na circunferência e o ponto
é dada por:
Mas para facilitar o cálculo com derivadas, vamos trabalhar com a distância ao quadrado:
Passo 3
Agora, como a circunferência é
, podemos expressar
em função de
:
Vamos substituir isso na equação da distância
:
Expandindo e simplificando a expressão:
Para encontrar os valores mínimos e máximos de
, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Simplificando:
Resolvendo essa equação para
, encontramos os valores que nos darão as distâncias mínima e máxima.
Passo 5
Após resolver a equação acima (o que envolve passos de álgebra um pouco extensos), encontramos que os pontos na circunferência que minimizam e maximizam a distância para
estão na mesma linha que conecta o ponto
ao centro da circunferência
.
A distância entre
e o centro
é:
Então:
- Menor distância:
- Maior distância:
Resposta
a) A menor distância é aproximadamente 3,403 unidades.
b) A maior distância é aproximadamente 9,403 unidades.