Calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos trabalhar com derivadas de funções trigonométricas e regra do quociente. Vamos precisar lembrar das derivadas de e , além de como aplicar a regra para derivar uma divisão de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Isso simplifica a função para um produto, o que pode facilitar a aplicação da regra do produto na derivação.

Passo 3

Vamos agora derivar a função simplificada . Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Precisamos encontrar as derivadas de e :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
  1. Sabemos que , então:
    E como :
  2. (porque )
Então, juntando tudo:
E sabemos que .

Resposta

A derivada da função é:

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