Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos trabalhar com derivadas de funções trigonométricas e regra do quociente. Vamos precisar lembrar das derivadas de
e
, além de como aplicar a regra para derivar uma divisão de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Isso simplifica a função para um produto, o que pode facilitar a aplicação da regra do produto na derivação.
Passo 3
Vamos agora derivar a função simplificada
. Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 4
Precisamos encontrar as derivadas de
e
:
-
A derivada de
é . -
A derivada de
é .
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
-
Sabemos que
, então: E como: -
(porque )
Então, juntando tudo:
E sabemos que
.
Resposta
A derivada da função é:
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