Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos ajuda a derivar funções que são multiplicações de duas ou mais funções. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Temos três funções sendo multiplicadas:
Para derivar a função
, vamos usar a regra do produto para três funções, que é uma extensão da regra do produto para duas funções. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos derivar cada função individualmente, mantendo as outras duas intactas, e depois somar todos os resultados.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas individuais:
-
Derivada de
: (A derivada do seno é o cosseno.) -
Derivada de
: (A derivada do cosseno é o negativo do seno.) -
Derivada de
: (A derivada do logaritmo natural de x é 1 sobre x.)
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do produto para três funções:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 6
Podemos fatorar
nos dois primeiros termos:
Lembrando que
(identidade trigonométrica dupla), podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada da função é:
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