Calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos ajuda a derivar funções que são multiplicações de duas ou mais funções. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Temos três funções sendo multiplicadas:
Para derivar a função , vamos usar a regra do produto para três funções, que é uma extensão da regra do produto para duas funções. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos derivar cada função individualmente, mantendo as outras duas intactas, e depois somar todos os resultados.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas individuais:
  1. Derivada de :
    (A derivada do seno é o cosseno.)
  2. Derivada de :
    (A derivada do cosseno é o negativo do seno.)
  3. Derivada de :
    (A derivada do logaritmo natural de x é 1 sobre x.)

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do produto para três funções:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:

Passo 6

Podemos fatorar nos dois primeiros termos:
Lembrando que (identidade trigonométrica dupla), podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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