Calcule as derivadas das seguintes funçöes:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui estamos lidando com derivadas, especificamente usando regras como a derivada de funções compostas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de logaritmo para simplificar a derivada de uma função que está com uma base e um expoente variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a função de
. Então temos:
Agora, para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. No lado direito, temos o produto de
e
, então vamos usar a regra do produto:
Simplificando as derivadas:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das seguintes funçöes:
Prove que se
for homogênea de grau
, então
Calcule as derivadas das seguintes funçöes:
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
(a)
(b)