Calcule as derivadas das seguintes funçöes: sen(x)^(cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui estamos lidando com derivadas, especificamente usando regras como a derivada de funções compostas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de logaritmo para simplificar a derivada de uma função que está com uma base e um expoente variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função de . Então temos:
Agora, para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de é . No lado direito, temos o produto de e , então vamos usar a regra do produto:
Simplificando as derivadas:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados