Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = raiz(9*x^5 - 7)^(1/8)
(Resp. 315 x^4 / (8 * raiz(9 x^5 - 7)^(1/8)))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, a matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do poder. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as regras de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz oitava pode ser escrita como uma potência com expoente . Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do poder, que diz que se temos , então a derivada . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular , a derivada de . A função é uma função polinomial simples. Usando a regra do poder:

Passo 5

Agora, aplicando a regra do poder na função composta:
Simplificando o expoente:
Então,

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes numéricos multiplicando por :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Por fim, podemos reescrever como uma raiz oitava no denominador:
Então, a derivada final fica:

Resposta

A derivada da função é .

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