Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = x^4 (3 x + 2)^3
() Resp. x^3 (3x + 2)^2 (21x + 8)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que são ferramentas fundamentais em cálculo para derivar funções que são produtos de outras funções e que possuem funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas partes da função que vamos derivar separadamente. Podemos considerar:
A Regra do Produto nos diz que a derivada de é dada por:

Passo 3

Vamos calcular e individualmente.
  1. Derivando :
    Aqui, aplicamos a Regra do Expoente, que diz que a derivada de é .
  2. Derivando :
    Para derivar , usamos a Regra da Cadeia, já que temos uma função composta.
    • Seja e .
    • Então, .
    A derivada de é .
    Calculando:
    Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto substituindo as derivadas encontradas:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão fatorando termos comuns. Observamos que e são fatores comuns:

Resposta

A derivada da função é:

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