Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar potências e também como lidar com a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A raiz quadrada de
pode ser escrita como
. Isso nos ajuda a aplicar a regra do poder na derivação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para derivar uma função composta como
, a derivada é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte:
-
é o expoente. -
-
Passo 5
Substituindo de volta na expressão:
Os
e os
se cancelam, ficando:
Passo 6
Sabemos que
é igual a
(valor absoluto de x). Então, temos:
Essa expressão vale:
-
quando , -
quando , - E é indefinida em
, porque você não pode dividir por zero.
Resposta
A derivada da função
é: