Calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar potências e também como lidar com a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A raiz quadrada de pode ser escrita como . Isso nos ajuda a aplicar a regra do poder na derivação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para derivar uma função composta como , a derivada é . No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte:
  1. é o expoente.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
Os e os se cancelam, ficando:

Passo 6

Sabemos que é igual a (valor absoluto de x). Então, temos:
Essa expressão vale:
  • quando ,
  • quando ,
  • E é indefinida em , porque você não pode dividir por zero.

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Calcule a derivada