Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . A matéria envolvida aqui são Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão se multiplicando: e . Para derivar essa função, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função multiplicada por outra.

Passo 3

A Regra do Produto nos diz que a derivada de é . Então, vamos primeiro encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos começar com . Para derivar essa função, usamos a Regra da Cadeia. A regra da cadeia serve para derivar funções compostas, ou seja, uma função dentro de outra. Neste caso, a função exterior é algo elevado à quarta potência, e a função interior é .

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia em :

Passo 6

Agora, vamos derivar , também usando a Regra da Cadeia. A função exterior aqui é algo elevado à quinta potência, e a função interior é .

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia em :

Passo 8

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar a derivada da função original:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 9

Podemos simplificar essa expressão fatorando termos comuns. Observamos que e são comuns nos dois termos:

Passo 10

Finalmente, podemos deixar a derivada dessa forma simplificada ou expandir mais, dependendo do que for pedido. Mas, geralmente, essa forma já é suficiente e está simplificada.

Resposta

A derivada da função é:

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