Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. A matéria envolvida aqui são Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão se multiplicando:
e
. Para derivar essa função, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função multiplicada por outra.
Passo 3
A Regra do Produto nos diz que a derivada de
é
. Então, vamos primeiro encontrar as derivadas de
e
separadamente.
Passo 4
Vamos começar com
. Para derivar essa função, usamos a Regra da Cadeia. A regra da cadeia serve para derivar funções compostas, ou seja, uma função dentro de outra. Neste caso, a função exterior é algo elevado à quarta potência, e a função interior é
.
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia em
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
, também usando a Regra da Cadeia. A função exterior aqui é algo elevado à quinta potência, e a função interior é
.
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia em
:
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar a derivada da função original:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 9
Podemos simplificar essa expressão fatorando termos comuns. Observamos que
e
são comuns nos dois termos:
Passo 10
Finalmente, podemos deixar a derivada dessa forma simplificada ou expandir mais, dependendo do que for pedido. Mas, geralmente, essa forma já é suficiente e está simplificada.
Resposta
A derivada da função é:
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