Calcule as derivadas das seguintes funções: sen(x)^(cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica e lembrar de algumas regras básicas de derivadas como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função de f(x):
Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação:

Passo 3

Usando uma propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Lembrando que a derivada de é e aplicando a regra do produto no lado direito:

Passo 5

Para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por f(x):

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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