Encontre uma equação da reta tangente à curva curva y^2 + x^3(2 - x) no ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela equação no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas e tangentes a curvas. Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da curva:
Queremos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada . Como a equação está implícita, vamos usar a derivada implícita.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Então:
Podemos fatorar:

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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