Encontre uma equação da reta tangente à curva curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela equação no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas e tangentes a curvas. Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da curva:
Queremos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada . Como a equação está implícita, vamos usar a derivada implícita.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Então:
Podemos fatorar:
Passo 5
Agora, vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação: