Encontre os valores de
para os quais
é contínua em
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
em relação a
:
Queremos descobrir para quais valores de
essa função é contínua em todos os números reais
. Isso envolve conceitos de continuidade e limites na matemática, especialmente na definição de continuidade de uma função em um ponto.
Passo 2
Para que a função
seja contínua em
, ela deve ser contínua em todos os pontos, incluindo o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em
. A continuidade em
significa que o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda (
):
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de
pela direita (
):
Para a função ser contínua em
, esses dois limites devem ser iguais, ou seja:
Passo 4
Agora, temos a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
Os valores de
que tornam
contínua em
são:
Exercícios relacionados
Use o método do Exercício 5 para calcular
, onde
e
é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.
Suponha que
seja uma função que satisfaz a expressão
para todos
. Suponha também que
Determine
e
.
Se
for derivável em
, com
, calcule o limite
Calcule as derivadas das seguintes funções: