Encontre os valores de a para os quais f é contínua em R :
f(x) = { x + 1, se x <= a; x^2, se x > a }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de em relação a :
Queremos descobrir para quais valores de essa função é contínua em todos os números reais . Isso envolve conceitos de continuidade e limites na matemática, especialmente na definição de continuidade de uma função em um ponto.

Passo 2

Para que a função seja contínua em , ela deve ser contínua em todos os pontos, incluindo o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em . A continuidade em significa que o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda ( ):
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de pela direita ( ):
Para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais, ou seja:

Passo 4

Agora, temos a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Resposta

Os valores de que tornam contínua em são:

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