Se
for derivável em
, com
, calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
, onde
é uma função derivável em
e
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas e limites. Vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão do limite:
O denominador
é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar.
Passo 3
Fatorando o denominador, temos:
Então, substituindo de volta no limite:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais simples.
Passo 5
A expressão
se assemelha à definição da derivada de
em
. Na verdade, quando
se aproxima de
, essa expressão se converge para
, que é a derivada de
em
.
Então, podemos substituir:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre os valores de
para os quais
é contínua em
:
Use o método do Exercício 5 para calcular
, onde
e
é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.
Calcule as derivadas das seguintes funções:
Encontre uma equação da reta tangente à curva curva
no ponto
.