Se f for derivável em x=a, com a neq 0, calcule o limite
lim x a f(x)-f(a)x^2-a^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite de quando se aproxima de , onde é uma função derivável em e . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas e limites. Vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão do limite:
lim x a f(x)-f(a)x^2-a^2
O denominador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar.

Passo 3

Fatorando o denominador, temos:
x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)
Então, substituindo de volta no limite:
lim x a f(x)-f(a)(x - a)(x + a)

Passo 4

Agora, vamos reescrever a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por f(x) - f(a)(x - a)(x + a) = f(x) - f(a)x - ax + a :
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais simples.

Passo 5

A expressão lim x a f(x) - f(a)x - ax + a = f'(a)a + a = f'(a)2a se assemelha à definição da derivada de em . Na verdade, quando se aproxima de , essa expressão se converge para , que é a derivada de em .
Então, podemos substituir:

Resposta

O limite é igual a .

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