Se for derivável em , com , calcule o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite de quando se aproxima de , onde é uma função derivável em e . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas e limites. Vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão do limite:
O denominador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar.

Passo 3

Fatorando o denominador, temos:
Então, substituindo de volta no limite:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais simples.

Passo 5

A expressão se assemelha à definição da derivada de em . Na verdade, quando se aproxima de , essa expressão se converge para , que é a derivada de em .
Então, podemos substituir:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre os valores de para os quais é contínua em :
Use o método do Exercício 5 para calcular , onde
e é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.
Calcule as derivadas das seguintes funções:
Encontre uma equação da reta tangente à curva curva no ponto .