Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga qual o seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a usando uma série infinita. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série.
Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função seno e depois integrar termo a termo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função . A série de Taylor para é:
Isso significa que podemos escrever substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a série de por :

Passo 4

O próximo passo é integrar essa série termo a termo em relação a :

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Então, substituindo de volta na série:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série de tem raio de convergência infinito, e ao substituirmos , o raio de convergência permanece infinito. Integrações e multiplicações por polinômios não alteram o raio de convergência neste caso.

Resposta

A integral indefinida de pode ser expressa como a série infinita:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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