Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga qual o seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a
usando uma série infinita. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série.
Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função seno e depois integrar termo a termo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função . A série de Taylor para é:
Isso significa que podemos escrever substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a série de por
:
Passo 4
O próximo passo é integrar essa série termo a termo em relação a
:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Então, substituindo de volta na série:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série de tem raio de convergência infinito, e ao substituirmos
, o raio de convergência permanece infinito. Integrações e multiplicações por polinômios não alteram o raio de convergência neste caso.
Resposta
A integral indefinida de pode ser expressa como a série infinita:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
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no ponto
.
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