Calcule a integral indefinida
integral x^2 sen(x^2) d x
como uma série infinita e diga qual o seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a usando uma série infinita. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série.
Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função seno e depois integrar termo a termo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função . A série de Taylor para é:
Isso significa que podemos escrever substituindo sen(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! por sen(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a série de por x^2 sen(x^2) = x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+4(2n+1)! :

Passo 4

O próximo passo é integrar essa série termo a termo em relação a integral x^2 sen(x^2) dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^4n+4(2n+1)! dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral x^4n+4 dx :

Passo 5

Vamos integrar integral x^4n+4 dx = x^4n+54n+5 + C em relação a sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot x^4n+54n+5 + C = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+5(2n+1)! (4n+5) + C :
Então, substituindo de volta na série:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série de tem raio de convergência infinito, e ao substituirmos , o raio de convergência permanece infinito. Integrações e multiplicações por polinômios não alteram o raio de convergência neste caso.

Resposta

A integral indefinida de pode ser expressa como a série infinita:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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