Sejam f(x) = x^2, g(x) = cos(x) e h(x) = e^x. Calcule:
d/dx f(g(x))

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a derivada de uma função composta. As funções são e . O que precisamos saber para resolver isso é a regra da cadeia, que usamos para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Aqui, a função composta é , que significa que a gente vai aplicar a função na função . Então, substituindo, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Ou seja, a derivada da função composta é a derivada de avaliada em , multiplicada pela derivada de .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, encontramos a derivada de :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos por :

Resposta

A derivada de em relação a é:
Ou, usando uma identidade trigonométrica, pode ser escrita como:

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