Sejam
e
. Calcule:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a derivada de uma função composta. As funções são
e
. O que precisamos saber para resolver isso é a regra da cadeia, que usamos para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Aqui, a função composta é
, que significa que a gente vai aplicar a função
na função
. Então, substituindo, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Ou seja, a derivada da função composta é a derivada de
avaliada em
, multiplicada pela derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos
por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Ou, usando uma identidade trigonométrica, pode ser escrita como: