Calcule as derivadas das seguintes funções:
y = (x^(-2/3) - 3*x^(-4/5)) / (8*x^(-1/2) - 5*x^(-2/7))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função dada:
Aqui, estamos lidando com derivadas de funções racionais que envolvem potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. A função é uma divisão de duas partes:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):
A regra do quociente nos diz que a derivada de é:
Então, precisamos achar e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada do numerador .
Lembrando que a derivada de é , aplicamos isso em cada termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada do denominador .
Aplicando a mesma regra da potência:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo , , , e :

Passo 6

Esse é o resultado final da derivada da função . Podemos deixar assim, mas se quiser simplificar mais, precisaria multiplicar e combinar os termos, o que deixaria a expressão ainda mais complexa. Então, a derivada da função é:

Resposta

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