Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função dada:
Aqui, estamos lidando com derivadas de funções racionais que envolvem potências de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da potência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. A função
é uma divisão de duas partes:
- Numerador (
): - Denominador (
):
A regra do quociente nos diz que a derivada de
é:
Então, precisamos achar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada do numerador
.
Lembrando que a derivada de
é
, aplicamos isso em cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada do denominador
.
Aplicando a mesma regra da potência:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo
,
,
, e
:
Passo 6
Esse é o resultado final da derivada da função
. Podemos deixar assim, mas se quiser simplificar mais, precisaria multiplicar e combinar os termos, o que deixaria a expressão ainda mais complexa. Então, a derivada da função é: