Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a determinar a taxa de variação da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada usando a definição. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão entre a variação de
e a variação de
quando essa variação tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
no ponto
, temos:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, cancelamos
no numerador e denominador:
Quando
tende a 0,
tende a
. Então temos:
Resposta
A inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.