Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão
quando
se aproxima de zero. Isso nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Vamos expandir
usando a fórmula do binômio:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
e
na definição da derivada:
Simplificando os termos:
Passo 6
Podemos fatorar
no numerador:
Agora, aplicamos o limite:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
, substituímos
na derivada:
Resposta
A inclinação da reta tangente no ponto
é 12.