Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:
y = x^3 + 5 ; P = (2, 13).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão quando se aproxima de zero. Isso nos dá a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Vamos expandir usando a fórmula do binômio:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos e na definição da derivada:
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos fatorar no numerador:
Agora, aplicamos o limite:

Passo 7

Finalmente, para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto , substituímos na derivada:

Resposta

A inclinação da reta tangente no ponto é 12.

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