Calcule as derivadas das seguintes funções:
y = e^x / (sen(3x) + 2^x cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra do produto, além das derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos:
  • (a parte de cima da fração)
  • (a parte de baixo da fração)
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente, que diz:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar e :
  1. Derivada de :
    A derivada de em relação a é simplesmente :
  2. Derivada de :
    Vamos por partes:
    • Derivada de :
      Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é . Então:
    • Derivada de :
      Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções: e .
      A regra do produto diz que .
      • Derivada de :
        A derivada de é . Então:
      • Derivada de :
      Aplicando a regra do produto:
    Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:
Podemos fatorar no numerador para simplificar um pouco:

Resposta

A derivada da função é:

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