Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada! A questão pede para calcular a derivada da função
. Aqui, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra do produto, além das derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos:
-
(a parte de cima da fração) -
(a parte de baixo da fração)
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente, que diz:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos derivar
e
:
-
Derivada de
: A derivada deem relação a é simplesmente : -
Derivada de
: Vamos por partes:-
Derivada de
: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada deé . Então: -
Derivada de
: Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções:e . A regra do produto diz que. -
Derivada de
: A derivada deé . Então: -
Derivada de
:
Aplicando a regra do produto: -
Então, juntando tudo: -
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:
Podemos fatorar
no numerador para simplificar um pouco:
Resposta
A derivada da função é: