Calcule as derivadas a seguir Y = (x^3 - 1)^10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . O conteúdo envolvido aqui é o de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos uma função composta onde e . A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções assim, onde uma função está dentro de outra.

Passo 3

A regra da cadeia diz que, para derivar , a derivada de Y em relação a x ( ) é a derivada de Y em relação a u ( ) multiplicada pela derivada de u em relação a x ( ).

Passo 4

Vamos calcular . Como , a derivada é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Como , a derivada é:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada de em relação a x é:

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