Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas da função
até a ordem
. Isso envolve usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, como derivar funções trigonométricas várias vezes. Vamos precisar entender como as derivadas de seno e cosseno se comportam quando são derivadas repetidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função seno. A derivada de
é
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. A derivada de
é
:
Passo 4
Continuando, a derivada de
é
:
Passo 5
Derivando
, temos de volta
:
Passo 6
Perceba que após quatro derivadas, voltamos à função original
. Isso cria um ciclo que se repete a cada 4 derivações.
Passo 7
Para encontrar a 76ª derivada, vamos ver onde ela cai nesse ciclo de 4. Isso é feito calculando o resto da divisão de 76 por 4:
Passo 8
Como o resto é 0, a 76ª derivada será a mesma que a 4ª, que é
.
Resposta
A 76ª derivada de
é
.