Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. f(x) = sen(x), n = 76

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas da função até a ordem . Isso envolve usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, como derivar funções trigonométricas várias vezes. Vamos precisar entender como as derivadas de seno e cosseno se comportam quando são derivadas repetidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função seno. A derivada de é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar . A derivada de é :

Passo 4

Continuando, a derivada de é :

Passo 5

Derivando , temos de volta :

Passo 6

Perceba que após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso cria um ciclo que se repete a cada 4 derivações.

Passo 7

Para encontrar a 76ª derivada, vamos ver onde ela cai nesse ciclo de 4. Isso é feito calculando o resto da divisão de 76 por 4:

Passo 8

Como o resto é 0, a 76ª derivada será a mesma que a 4ª, que é .

Resposta

A 76ª derivada de é .

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