Dada a função , verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos. No ponto de x0 = 4
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem uma função definida por partes, o que significa que ela muda a forma dependendo do valor de . Aqui, a função tem três partes diferentes:
A questão quer saber se a derivada dessa função existe no ponto . Se existir, precisamos calcular o valor da derivada nesse ponto. Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona derivada de funções definidas por partes e verificar se a função é diferenciável no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar em qual parte da função está o ponto . Observando as condições das partes da função:
:
:
:
Como está entre e , usamos a segunda parte da função: .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa parte da função. A derivada de uma função é como a “taxa de variação” dela. Para , que é uma função linear, a derivada é constante.
A derivada de (uma constante) é , e a derivada de é . Então,
Passo 4
Como a derivada é constante nessa parte da função, isso significa que a derivada no ponto também é . Não precisamos nos preocupar com os outros trechos da função porque está bem dentro do intervalo , onde a função é suave e linear.