Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos. No ponto de x0 = 4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem uma função definida por partes, o que significa que ela muda a forma dependendo do valor de . Aqui, a função tem três partes diferentes:
A questão quer saber se a derivada dessa função existe no ponto . Se existir, precisamos calcular o valor da derivada nesse ponto. Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona derivada de funções definidas por partes e verificar se a função é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar em qual parte da função está o ponto . Observando as condições das partes da função:
  • :
  • :
  • :
Como está entre e , usamos a segunda parte da função: .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa parte da função. A derivada de uma função é como a “taxa de variação” dela. Para , que é uma função linear, a derivada é constante.
A derivada de (uma constante) é , e a derivada de é . Então,

Passo 4

Como a derivada é constante nessa parte da função, isso significa que a derivada no ponto também é . Não precisamos nos preocupar com os outros trechos da função porque está bem dentro do intervalo , onde a função é suave e linear.

Resposta

Sim, a derivada existe no ponto e vale .

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